내진설계해석방법 단일모드 다중모드 해석법 개념 정리

내진설계해석방법은 다음과 같이 등가정적하중법, 응답스펙트럼해석법 및 시간이력해석법의 3가지로 구분할 수 있으며,

이 중 응답스펙트럼 해석법은 단일모드 해석법과 다중 모드 해석법으로 나눌수 있다. 

 

 

 

가장 먼저 등가정적하중법, 응답스펙트럼 해석법 및 시간이력해석방법이 무엇인지 정리를 해보고, 

그 다음으로 응답스펙트럼 해석법을 이해하기 위해, Eigen 해석 및 Mode Shape 등에 대해서 정리를 해보고자 한다.

 

 

(1) 등가정적하중법

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시간에 따라 크기가 변하는 지진에 의해 구조물에 가해지는 동적지진력을 등가의 정적지진력으로 환산하여 간단한 선형정적해석으로 접근하는 방법.

지진의 가속도에 의해 발생하는 관성력 중량 W(지진 발생 시 지지해야 하는 상부구조물 의 중량과 지진거동에 영향을 주는 하부구조물의 중량의 합)와 탄성지진응답계수 Cs의 곱으로 산정한다.

등가정적하중법은 구조물 의 거동이 기본진동모드(1차 모드)에 의해 지배적이거나 특정범위 내일 때 사용할 수 있다

 

 

(2) 응답스펙트럼 해석법

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동적해석방법 중에서 가장 보편화된 방법으로 시간이력해석법에 비해 시간이 적게 소요되면서 정밀해석이 가능하다. 그러나 기하형상이 복잡할 경우에는 모드해석 결과의 분석이 어려워, 적절한 응답을 기대하기 곤란하다.

응답스펙트럼 해석법은 단일모드스펙트럼해석법과 다중모드스펙트럼해석법으로 구분되는데,

단일모드스펙트럼트럼 해석법은 구조물의 기하형상이 단순한 경우에 적용가능하며, 이 경우 단순한 구조물로 인해 동적 거동 역시 단순해지며, 첫 번째 진동모드가 진동응답을 지배하게 되므로 첫 번째 진동모드를 이용하여 교량의 설계지진력을 계산한다.

다중모드스펙트럼 해석법은 기본모드 이외의 모드들도 동적응답에 기여하는 경우에 사용하며, 여러 개의 진동모드가 구조물 의 전체 거동에 기여하는 구조형식이나 중간 정도 지간의 연속교와 장대교량 및 특수교량에도 적용 가능하다.

다중모드스펙트럼 해석법 적용시 고려해야하는 모드수는 지간 수의 3배 이상. 이 때, 잔여모드를 모두 포함하여 해석하더라도 응답이 10%이상 증가하지 않는 충분한 개수의 모드를 고려해야 한다.

부재의 단면력과 변위는 개별 모드들로부터 각각의 응답성분은 CQC (Complete Quadratic  Combination)으로 조합하여 계산한다.

 

 

(3) 시간이력해석법

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구조물의 동적특성과 가해지는 지진하중을 사용하여, 임의의 시간에 대한 구조물 실제적인 거동(변위, 부재력 등)을 계산하는 방법으로, 모드간 구분이 명확하지 않거나 비선형해석이 필요할 경우 사용한다.

시간이력해석법에는 크게 직접적분법(Direct Integration)과 모드중첩법(Modal Superposition)으로 나눌 수 있는데,

직접적분법은 한 시점에서의 거동이 구해져 있을 때 다음 시점 에서의 거동을 구하는 작업을 반복하여 전체시간 구간에 걸친 거동 을 구하는 방법이고,

모드 중첩법은 구조물의 거동을 각 모드의 거 동으로 분리하여 모든 모드에서의 응답을 전부 중첩시킴으로써 이 론상 정확한 응답의 시간이력을 구하는 방법이다.

 

 

이 중에서 내진해석에 보편화된 응답스펙트럼 해석법은 Mode Shape에 대한 이해가 필요하므로, 해당 내용을 정리하여 보았다. 

 

Mode Shape은 어떤 의미이고 왜 구하는지에 대해서 살펴보자. 

 

 

Mode Shape

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아래 그림은 푸리에 시리즈를 설명하는 예제에서 가져온 것이지만, 이해를 돕는데 가장 적절한 예가 아닐까 싶다.

구체적인 수식으로 들어가기 전에 큰 틀에서의 의미는 아래 그림과 같다.

 

즉, 지진으로 인한 구조물의 실제 응답(처짐, 모멘트, 전단력 및 축력 등)이 아래와 같은 검은색 선이라고 하자.

우리는 지진에 의한 실제 응답의 정확한 해를 계산할 수 없으므로 (미분방정식의 정확한 해를 구하기가 어렵다!)

근사해를 구하여 계산할 수 밖에 없다.

 

실제 구조물의 응답은 아래와 같이 1, 3, 5로 표시된 근사해를 각각 구하고,

이 근사해를 적절히 가중치(Factor)를 적용하여 합산을 하면, "1+3+5" 로 표시된 그림과 같은 근사해를 얻게 된다.

즉,

실제 구조물의 응답 = 구조물 응답의 근사해 = Factor1 x "1" + Factor 2 x "2" + Factor x 3 + "3"

 

 

위에서, "1", "3", "5" 에 해당하는 그래프가 각각 Mode Shape이 된다.

 

그리고, 이 Mode Shape을 구하기 위한 해석이 Eigen Value Analysis이다.

 

또한, 1+3+5의 모양에서 알 수 있듯, 이 실제 구조물의 거동은 "1"번의 Shape이 가장 큰 영향을 주고, 나머지 "2"와 "3"의 Shape은 영향이 작다. 이렇듯 각각의 Shape들이 실제 구조물의 거동을 묘사하는데 미치는 영향(혹은 크기)를 질량 기여도라고 할 수 있겠다.

 

그렇기 때문에, 구조물이 단순한 경우에는 지진에의한 구조물의 응답이 단순(Mode Shape이 간단해짐)하고, 첫번째  Mode Shape만으로도 실제 응답에 가까운 근사해를 구할수 있게 된다. (질량기여도 혹은 질량참여도가 90%이상)

 

 

내진 해석을 위한 지배방정식 및 Solution

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여기서, i번째 Mode Shape에 의한 방정식은 아래와 같다.

 

 

기둥에 대한 Mode Shape