재현주기와 확률 관계, 비초과확률 및 시공기준풍속 산정

재현주기와 확률

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도로교 설계기준, 풍하중 관련 세부 내용을 살펴보면 "재현기간 100년에 해당하는 ..." 이라는 문구가 나온다.

재현기간 R년 이라는 문구가 개인적으로 이해하기 어려웠으나, 이 문구의 내용은 확률적으로 1/R이라는 의미이다.

 

즉, 재현기간 100년이면, 이번 연도에 발생할 확률은 1/100이라는 뜻이다.

따라서, 아래와 같은 가우스 표준 정규분포를 예를 들어 생각하면, 1%의 면적을 갖는 부분을 의미한다.

그렇다면, 재현기간 100년의 풍속이 100년 안에 발생할 확률은

100% - 발생하지 않을 확률 = 100% - (99%)^100 = 100% - 36.6% = 63.4%

 

즉, 재현기간 100년 빈도 풍속이 100년에 발생할 확률은 100%가 아니라는 개념이다.

 

 

비초과확률

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재현주기 R년동안 비초과 확률(R)은 100%에서 발생확률을 빼면 된다.

즉, 재현주기 R년의 풍속이 이번 해에 발생할 확률은 1 / R 이다.

따라서, 비초과확률(R) = 1 - 1 / T

 

 

시공기준풍속

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도로교 설계기준에 언급된 시공기준 풍속은 아래와 같이, "최대풍속"의 비초과확률 80%에 해당하는 풍속으로 정의되어있다. 다행히 도로교 설계기준 2015년 해설편에는 간단히 설계기준풍속의 80%를 사용할 수 있도록 언급이 되어있어 복잡한 계산을 하지 않아도 된다.

 

그러나, 식 3.13.2는 그 출처가 명확히 나와있지 않아 의미를 이해하기 어려웠다.

 

식3.13.2는 다음과 같이 산정된다.

재현기간 R인 풍속이 N년 동안 발생하지 않을 비초과확률 P는 다음과 같다.

 

여기서, 1/R : 재현기간 R년 풍속이 발생할 확률

          1 - 1/R : 재현기간 R년 풍속이 발생하지않을 확률

          (1-1/R)^N : 재현기간 R년 풍속이 N년동안 지속적으로 발생하지 않을 확률

 

위 식을 재현기간 R에 대하여 정리하면, 아래와 같이 정리된다.

 

알고보니 엄청 간단한 내용인데, 말이 어려워서 그랬는지 여태까지 이해하지 못했다.

 

 

시공기준풍속 산정

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도로교 설계기준에는 시공기준풍속을 공사기간에 대한 최대풍속의 비초과확률 80%에 해당하는 10분 풍속으로 정의하고 있다. 따라서, 공사기간동안 최대풍속의 비초과확률 80%에 해당하는 재현기간을 산정하고, 이를 바탕으로 시공기준풍속을 산정하면된다.

 

재현기간 R년 동안 비초과확률 P의 공사기간 N년의 시공기준풍속 산정은 다음 수식을 이용하여 산정한다.

비초과확률, P = ( 1 - 1/R )^N

여기서, 재현기간 R = 1 / ( 1 - P^(1/N) ) 을 구할 수 있다.

 

최종적으로 시공기준풍속은 아래 수식을 이용하여 산정할 수 있다. 이 수식의 근거는 찾을수가 없었고, 다만 기상대에서 측정된 풍속 데이터를 바탕으로 Gumbell 분포에 근사화한 수식으로 판단된다. 여기서. V10은 설계기준풍속을 적용하면 되겠다.

 

 

시공기준풍속 산정 (해외설계기준)

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시공기준풍속에 대한 명확한 정의가 없는 것으로 보여진다.

그런데, Eurocode를 참고하면, 아래와 같이 초과확률, p일때의 평균풍속은 계수 Cprob를 적용하여 산정할 수 있도록 규정하였다.

 

위 식에서 초과확률, p를 산정할려면, 공사기간에 해당하는 풍속의 재현주기를 산정해야 하는데, 아래와 같이 표3.1로 대략적인 재현기간을 산정할 수 있다. 따라서, 초과확률, p = 1 / R (재현주기) 로서 산정할 수 있겠다.

 

 

위 표의 출처