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보의 처짐은 재료역학과 구조역학에서 가장 기본이 되는 주제다. 보에 하중이 걸리면 보는 아래로 휘어 내려간다. 이때 보가 내려간 양을 보의 처짐(deflection)이라 하고, 처짐이 너무 크면 바닥 진동, 마감재 균열, 배수 불량 같은 사용성 문제가 생긴다. 그래서 강도 검토와 함께 최대 처짐이 허용값 이내인지 반드시 확인한다.
이 글에서는 단순보·캔틸레버·양단 고정보·일단고정 타단단순보의 보의 처짐 공식을 그림과 표로 정리하고, 계산 예제와 연속보 처짐까지 다룬다. 마지막에는 브라우저에서 바로 쓰는 보 계산 도구 macroBIM SimpleBEAM · MultiBEAM 사용법을 소개한다.
| 지지 조건 | 등분포하중 w | 집중하중 P |
| 단순보 | 5wL⁴ / 384EI | PL³ / 48EI (중앙) |
| 캔틸레버 | wL⁴ / 8EI | PL³ / 3EI (자유단) |
| 양단 고정보 | wL⁴ / 384EI | PL³ / 192EI (중앙) |
| 일단고정 타단단순 | wL⁴ / 185EI | PL³ / 107EI (중앙) |
보의 처짐이란
처짐은 하중에 의해 생긴 휨모멘트 M이 보를 굽히면서 생긴다. 보의 곡률은 휨모멘트에 비례하고 휨강성 EI에 반비례하므로, 처짐 곡선 y(x)는 재료역학의 탄성곡선 미분방정식인 아래 관계를 적분해서 구한다.
- E (탄성계수) : 재료의 강성. 강재 약 205,000 MPa, 콘크리트 약 25,000 ~ 35,000 MPa
- I (단면2차모멘트) : 단면 형상의 강성. 보 높이의 세제곱에 비례하므로 춤을 키우면 처짐이 크게 준다.
- L (지간) : 등분포하중 처짐은 L⁴에 비례한다. 지간이 2배면 처짐은 16배가 된다.
보의 처짐 공식 정리
지지 조건과 하중 종류별로 반력, 최대 휨모멘트, 최대 처짐, 처짐각을 정리하면 다음과 같다.
| 경우 | 반력 | 최대 휨모멘트 | 최대 처짐 δmax | 처짐각 θ |
| 단순보 · 등분포 w | R = wL/2 | wL²/8 (중앙) | 5wL⁴/384EI (중앙) | wL³/24EI (지점) |
| 단순보 · 중앙 집중 P | R = P/2 | PL/4 (중앙) | PL³/48EI (중앙) | PL²/16EI (지점) |
| 단순보 · 임의 위치 P (a : 왼쪽, b : 오른쪽 거리, a ≥ b) |
RA = Pb/L RB = Pa/L |
Pab/L (하중점) | Pb(L²−b²)3/2 / (9√3·LEI) x = √((L²−b²)/3) |
θA = Pab(L+b)/6LEI |
| 캔틸레버 · 등분포 w | R = wL | wL²/2 (고정단) | wL⁴/8EI (자유단) | wL³/6EI (자유단) |
| 캔틸레버 · 자유단 P | R = P | PL (고정단) | PL³/3EI (자유단) | PL²/2EI (자유단) |
| 양단 고정보 · 등분포 w | R = wL/2 | wL²/12 (단부) wL²/24 (중앙) |
wL⁴/384EI (중앙) | 0 |
| 양단 고정보 · 중앙 P | R = P/2 | PL/8 (단부·중앙) | PL³/192EI (중앙) | 0 |
| 일단고정 타단단순 · 등분포 w | 고정단 5wL/8 단순단 3wL/8 |
wL²/8 (고정단) 9wL²/128 (경간 내) |
wL⁴/185EI (고정단에서 0.58L) |
wL³/48EI (단순단) |
| 일단고정 타단단순 · 중앙 P | 고정단 11P/16 단순단 5P/16 |
3PL/16 (고정단) 5PL/32 (중앙) |
PL³/107EI (고정단에서 0.55L) |
PL²/32EI (단순단) |
- 일단고정 타단단순보의 185, 107은 정확한 값 0.00542wL⁴/EI, 0.00932PL³/EI를 반올림한 것이다.
- 모든 식은 탄성 범위, 균일 단면(EI 일정), 작은 처짐 가정에서 성립한다.
지지 조건에 따라 처짐이 얼마나 달라질까
같은 등분포하중이라도 지점을 고정하면 처짐이 크게 줄어든다. 아래 그래프는 처짐을 wL⁴/EI로 나눠 무차원으로 비교한 것이다. 양단 고정보의 처짐은 단순보의 1/5이고, 캔틸레버는 단순보의 약 9.6배(0.125)로 그래프 범위를 훨씬 벗어난다.
보의 처짐 계산 예제 : 단순보 등분포하중
H형강 단순보에 등분포하중이 작용할 때 최대 처짐을 구해 보자.
| 항목 | 값 |
| 지간 L | 8.0 m |
| 등분포하중 w | 25 kN/m |
| 탄성계수 E | 205,000 MPa = 205 × 10⁶ kN/m² |
| 단면2차모멘트 I | 23,700 cm⁴ = 23,700 × 10⁻⁸ m⁴ |
| 휨강성 EI | 205 × 10⁶ × 2.37 × 10⁻⁴ = 48,585 kN·m² |
δmax = 5wL⁴ / 384EI = 5 × 25 × 8⁴ / (384 × 48,585) = 512,000 / 18,656,640 = 0.02744 m = 27.4 mm
처짐비는 δ/L = 27.4 / 8,000 ≈ L/292이다. 허용처짐이 L/300이라면 약간 초과하므로 단면을 키우거나 지지 조건을 바꿔야 한다.
| 지지 조건 (같은 L, w, EI) | 계수 | 최대 처짐 | 처짐비 |
| 단순보 | 5/384 = 0.01302 | 27.4 mm | L/292 |
| 일단고정 타단단순 | 0.00542 | 11.4 mm | L/701 |
| 양단 고정보 | 1/384 = 0.00260 | 5.5 mm | L/1,457 |
| 캔틸레버 (L = 8 m) | 1/8 = 0.125 | 263 mm | L/30 |
단위 변환 주의
| 항목 | 흔히 쓰는 단위 | 계산 단위 (kN, m) |
| 탄성계수 E | MPa (N/mm²) | × 1,000 → kN/m² |
| 단면2차모멘트 I | cm⁴ | × 10⁻⁸ → m⁴ |
| 단면2차모멘트 I | mm⁴ | × 10⁻¹² → m⁴ |
| 처짐 결과 | m | × 1,000 → mm |
- 처짐 계산 실수의 대부분은 단위 변환에서 나온다. kN과 m로 통일한 뒤 마지막에 mm로 바꾸면 안전하다.
- 단면2차모멘트 구하는 법은 도심·중립축과 단면2차모멘트 글을 참고한다.
허용 처짐 기준 예
| 구분 | 허용 처짐 (예) | 비고 |
| 건축물 바닥보 (활하중) | L/360 | 손상되기 쉬운 비구조재 지지 시 더 엄격 |
| 건축물 지붕보 | L/180 ~ L/240 | 마감·용도에 따라 |
| 도로교 (차량 활하중) | L/800 | 보도 겸용 L/1,000 |
| 캔틸레버 | L 대신 2 × 돌출 길이 사용 | 기준별 확인 |
- 허용 처짐은 기준과 용도마다 다르므로 실제 설계에서는 적용 기준(KDS 등)의 해당 조항을 확인한다.
중첩법 : 하중이 여러 개일 때
탄성 범위에서는 하중별 처짐을 따로 구해서 더하면 된다. 예를 들어 단순보에 등분포하중 w와 중앙 집중하중 P가 함께 작용하면 중앙 처짐은 다음과 같다.
δ = 5wL⁴/384EI + PL³/48EI
- 최대 처짐 위치가 하중마다 다르면 각 위치의 처짐을 더한 뒤 최대값을 다시 찾아야 한다.
- 하중이 많거나 위치가 복잡하면 아래 macroBIM SimpleBEAM처럼 계산 도구를 쓰는 편이 빠르고 정확하다.
연속보의 처짐
연속보는 지점에서 부모멘트가 생겨 경간 처짐을 줄여 준다. 대신 부정정 구조라 간단한 공식 하나로 끝나지 않고, 구조역학의 3연 모멘트식, 처짐각법, 강성행렬법으로 풀어야 한다.
아래 그래프는 같은 단면(EI = 48,585 kN·m²)과 같은 하중(w = 25 kN/m)에서 8 m 단순보 3개와 8 + 8 + 8 m 3경간 연속보의 처짐을 비교한 것이다. 연속보의 최대 처짐은 14.5 mm로 단순보(27.4 mm)의 약 절반이다.
- 연속보는 한 경간에만 하중이 실리면 이웃 경간이 위로 들리기도 한다. 활하중은 경간별로 재하 위치를 바꿔 가며 최대 처짐을 찾는다.
- 이 계산은 아래 MultiBEAM에서 경간 3개, I = 23,700 cm⁴, 각 경간 등분포 25 kN/m를 넣으면 바로 확인할 수 있다.
macroBIM으로 보의 처짐 바로 계산하기
macroBIM (www.macrobim.com)은 설치 없이 브라우저에서 쓰는 구조 계산 도구다. 보 해석 메뉴인 MacroBEAM 안에 단경간용 SimpleBEAM과 연속보용 MultiBEAM이 있어, 하중과 단면만 넣으면 반력·전단력도(SFD)·휨모멘트도(BMD)·처짐을 바로 보여 준다.
→ macroBIM 바로가기 (www.macrobim.com)
SimpleBEAM : 단순보 · 캔틸레버 · 고정보
접속 후 왼쪽 메뉴에서 MacroBEAM → SimpleBEAM을 선택한다.
| 순서 | 입력 / 확인 | 내용 |
| 1 | Support | 왼쪽 끝 A, 오른쪽 끝 B를 Free · Roller · Fixed 중에서 선택 (예 : Roller + Roller = 단순보, Fixed + Free = 캔틸레버, Fixed + Fixed = 양단 고정보), 지간 Span 입력 |
| 2 | Property | 탄성계수 E(MPa), 단면2차모멘트 I(cm⁴) 입력. Database를 고르면 H형강·채널·각형강관·강관 단면을 바로 선택 가능 |
| 3 | Load | + Add로 하중 추가. UDL(등분포 w, kN/m) 또는 CON(집중 P, kN)과 위치 a, 재하 길이 b 입력 |
| 4 | Summary | 반력, 최대 모멘트, 최대 처짐 δmax와 위치, 처짐비 δ/L, EI 확인 |
| 5 | Design Formulas | 이 글의 처짐 공식(5wL⁴/384EI 등)과 계산값을 함께 표시 |
| 6 | Value at x | 다이어그램을 클릭하면 그 위치의 M, V, δ, θ, 응력 확인 |
MultiBEAM : 연속보 (최대 5경간)
왼쪽 메뉴에서 MacroBEAM → MultiBEAM을 선택한다.
| 순서 | 입력 / 확인 | 내용 |
| 1 | Model | − / + 버튼으로 경간 수(최대 5경간) 설정, 각 지점을 Free · Roller · Fixed 중에서 선택 |
| 2 | Span | 경간마다 길이 L, E, I 입력 (→ all 버튼으로 모든 경간에 같은 값 적용) |
| 3 | Load | + Add load로 하중 행 추가. 행마다 경간 번호와 UDL(w, a, b), 집중하중(P, a) 입력 |
| 4 | Results | 최대 정모멘트(M sag), 부모멘트(M hog), 최대 전단력, 최대 처짐과 위치 |
| 5 | Support reactions | 지점 반력과 경간 끝 모멘트 표 확인 |
- 위 계산 예제(L = 8 m, w = 25 kN/m, E = 205,000 MPa, I = 23,700 cm⁴)를 SimpleBEAM에 넣으면 δmax = 27.443 mm가 나온다.
- 공식으로 손계산한 값과 도구 결과를 비교하면 단위 실수를 쉽게 잡을 수 있다.
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