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구조역학 문제를 풀기 전에 가장 먼저 할 일은 이 구조물이 정정인지, 몇 차 부정정인지 판별하는 것입니다. 정정이면 힘의 평형만으로 반력이 나오고, 부정정이면 변위일치법 · 처짐각법 · 모멘트분배법 같은 방법을 골라야 합니다. 토목기사 필기에도 "다음 구조물의 부정정 차수는?" 문제가 꾸준히 나옵니다.
이 글에서는 지점별 반력 수, 보 · 라멘 · 트러스의 차수 공식, 불안정 구조 판별을 정리하고, 맨 아래에 버튼을 누를 때마다 새 구조물이 나오는 차수 맞히기 퀴즈를 넣었습니다.
세 줄 요약
① 반력 수: 롤러 1 · 힌지 2 · 고정 3.
② 보: N = r − 3 − h (h = 내부 힌지 수), 라멘: N = r + m + S − 2K, 트러스: N = m + r − 2j.
③ N < 0 이거나 반력이 평행 · 한 점에 모이면 불안정. N = 0 정정, N > 0 N차 부정정.
| 목차 | |
| 1. 정정 · 부정정 · 불안정 | 2. 지점 종류와 반력 수 |
| 3. 보의 부정정 차수 | 4. 라멘의 부정정 차수 (일반식) |
| 5. 트러스의 부정정 차수 | 6. 불안정 구조 판별 |
| 7. 차수 맞히기 퀴즈 | 8. 차수에 따른 풀이 방법 고르기 |
1. 정정 · 부정정 · 불안정
평면 구조물 하나에 쓸 수 있는 평형방정식은 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0 세 개입니다. 미지수(반력 · 내력) 개수와 식의 개수를 비교하면 구조물의 성격이 정해집니다.
| 구분 | 조건 | 의미 |
| 정정 | 미지수 = 평형방정식 수 (N = 0) | 평형방정식만으로 반력 · 단면력이 풀림 |
| 부정정 | 미지수 > 평형방정식 수 (N > 0) | 변형 조건(적합조건)이 N개 더 필요 |
| 불안정 | N < 0 또는 배치가 나쁨 | 하중을 받으면 움직임 (구조물로 쓸 수 없음) |
부정정 구조물은 여분의 지지가 있어서 처짐과 모멘트가 작고, 한 곳이 손상돼도 바로 무너지지 않는 장점이 있습니다. 대신 해석이 어렵고 온도 · 지점침하에도 응력이 생깁니다. 교량에서 연속교 · 라멘교가 많이 쓰이는 이유와 같은 이야기입니다.
2. 지점 종류와 반력 수
| 지점 | 막는 움직임 | 반력 | 반력 수 |
| 롤러 (이동 지점) | 수직 이동 | 수직 반력 | 1 |
| 힌지 (회전 지점) | 수평 · 수직 이동 | 수평 · 수직 반력 | 2 |
| 고정 지점 | 수평 · 수직 이동 + 회전 | 수평 · 수직 반력 + 모멘트 | 3 |
내부 힌지(게르버 힌지)는 지점이 아니라 부재 안에서 모멘트를 0으로 만드는 조건입니다. 그래서 힌지 하나가 생길 때마다 쓸 수 있는 조건식이 하나 늘어나 차수가 1씩 줄어듭니다.
3. 보의 부정정 차수
| 보 | 지점 | r | h | N | 판정 |
| 단순보 | 힌지 + 롤러 | 3 | 0 | 0 | 정정 |
| 캔틸레버 | 고정 | 3 | 0 | 0 | 정정 |
| 일단고정 타단롤러 (프롭트 캔틸레버) | 고정 + 롤러 | 4 | 0 | 1 | 1차 부정정 |
| 양단 고정보 | 고정 + 고정 | 6 | 0 | 3 | 3차 부정정 |
| 2경간 연속보 | 힌지 + 롤러 + 롤러 | 4 | 0 | 1 | 1차 부정정 |
| 3경간 연속보 | 힌지 + 롤러 × 3 | 5 | 0 | 2 | 2차 부정정 |
| 게르버보 (2경간 + 힌지 1) | 힌지 + 롤러 + 롤러 | 4 | 1 | 0 | 정정 |
주의 – 수평 하중이 없는 보 문제에서 "수평 반력은 0이니 빼고 계산"하는 풀이도 있습니다 (N = r − 2 − h). 시험에서는 보통 수평 반력까지 세는 N = r − 3 − h를 씁니다. 양단 고정보를 3차가 아니라 2차로 답하는 교재가 있는 이유입니다.
4. 라멘의 부정정 차수 (일반식)
강절점 수 S는 부재끼리 강하게(모멘트가 전달되게) 붙은 곳의 수입니다. 한 절점에 부재 n개가 강결되면 n − 1로 셉니다. 문형 라멘의 두 모서리는 각각 2개 부재가 붙으므로 S = 1 + 1 = 2입니다.
| 라멘 | r | m | S | K | N |
| 양단 고정 문형 | 6 | 3 | 2 | 4 | 3 |
| 양단 힌지 문형 | 4 | 3 | 2 | 4 | 1 |
| 3힌지 라멘 (보 중앙 힌지) | 4 | 4 | 2 | 5 | 0 (정정) |
| 고정 + 롤러 문형 | 4 | 3 | 2 | 4 | 1 |
같은 결과를 다르게 셀 수도 있습니다. 내부 힌지로 나뉜 강체 수를 b, 힌지 수를 h라고 하면 N = r + 2h − 3b입니다 (힌지마다 수평 · 수직 내력 2개). 아래 퀴즈의 해설은 이 식으로 보여 줍니다.
5. 트러스의 부정정 차수
트러스 절점은 모두 핀이라 절점마다 ΣFx, ΣFy 두 식만 씁니다. 삼각형 하나(m = 3, j = 3)를 단순 지지(r = 3)하면 3 + 3 − 6 = 0으로 정정입니다. 삼각형을 하나 붙일 때마다 부재 2개 · 절점 1개가 늘어 정정이 유지되고, 대각재를 하나 더 넣으면 1차 부정정이 됩니다.
6. 불안정 구조 판별
N ≥ 0이어도 불안정할 수 있습니다. 숫자보다 배치가 문제인 경우입니다.
| 불안정 유형 | 예 | 이유 |
| 외적 불안정 (수평 반력 없음) | 롤러 + 롤러 | 수평으로 미끄러짐 |
| 반력이 한 점에 모임 | 세 반력의 작용선이 한 점에서 만남 | 그 점을 중심으로 회전 |
| 반력이 모두 평행 | 롤러 3개 연속보 | 수평 방향 저항 없음 |
| 내적 불안정 (힌지 배치) | 힌지 양쪽 중 한쪽이 받쳐지지 않는 게르버보 | 힌지 주위로 꺾임 |
| N < 0 | 힌지 + 롤러 단순보에 내부 힌지 추가 | 미지수가 식보다 적음 |
아래 퀴즈는 평형방정식 행렬의 계수(rank)를 직접 계산해서 판정하므로, 차수 공식으로는 0이 나와도 배치 때문에 불안정한 구조를 정확히 걸러 냅니다.
7. 차수 맞히기 퀴즈
🎲 다음 문제를 누르면 지점 종류 · 경간 수 · 내부 힌지 위치가 랜덤으로 바뀐 보나 라멘이 나옵니다. 답을 누르면 정답과 함께 반력 수 · 힌지 수 · 공식 대입 과정이 나옵니다. 점수도 쌓이니 10문제 연속 정답에 도전해 보세요.
※ 보 공식은 수평 반력까지 세는 N = r − 3 − h 기준입니다. 라멘은 기둥 2개 + 보 1개의 문형, 힌지는 모서리 · 보 중앙에만 생깁니다.
8. 차수에 따른 풀이 방법 고르기
| 구조물 | 적합한 풀이 방법 | 비고 |
| 정정 (N = 0) | 힘의 평형, 처짐은 공액보법 · 모멘트면적법 | 기사 필기 단골 |
| 1 ~ 2차 부정정 보 | 변위일치법 (여분력 선택) | 스프링 지점 · 지점침하 문제도 이 방법 |
| 연속보 | 3연모멘트법, 모멘트분배법 | 경간이 많을수록 분배법이 편함 |
| 라멘 · 고차 부정정 | 처짐각법, 모멘트분배법 | 절점 회전각을 미지수로 |
| 큰 구조물 | 매트릭스 구조해석 (강성도법) | 프로그램(MIDAS 등) 내부 방식 |
다음 글에서는 1차 부정정 보를 변위일치법으로 푸는 과정과 스프링 지점 문제를 계산기로 정리합니다.
관련 글
차수 판별은 "반력을 세고, 힌지를 빼는" 단순한 작업이지만 지점 · 힌지 배치를 잘못 보면 바로 틀립니다. 퀴즈로 여러 구조를 빠르게 보면서 눈에 익혀 두면 시험장에서 10초 안에 답할 수 있습니다.
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