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좌굴은 가늘고 긴 기둥 · 부재가 압축력을 받을 때, 재료가 부서지기 전에 갑자기 옆으로 휘어 버리는 현상이다. 재료역학 · 구조역학에서 기둥 설계의 출발점이고, 토목 · 건축 구조물뿐 아니라 기계 부품(봉 · 축 · 파이프 · 스프링)에서도 똑같이 나타난다.
이 글에서는 좌굴 뜻과 좌굴 현상, 오일러 좌굴하중 공식, 지지조건에 따른 유효좌굴길이계수 K, 세장비와 장주 · 단주 구분, 좌굴 방지 방법까지 그림과 예제로 정리했다. 맨 아래 좌굴하중 계산기에서 E · I · L과 지지조건을 넣으면 Pcr을 바로 구할 수 있다.
| 항목 | 공식 · 값 | 뜻 |
| 좌굴하중 (오일러) | Pcr = π²EI / (KL)² |
기둥이 휘기 시작하는 최소 압축력 |
| 유효좌굴길이 | KL |
지지조건을 반영한 "실제로 휘는 길이" |
| 유효좌굴길이계수 K | 0.5 · 0.7 · 1.0 · 2.0 |
양단 고정 · 고정-힌지 · 양단 힌지 · 고정-자유 |
| 세장비 | λ = KL / r |
기둥이 얼마나 가느다란지 (클수록 좌굴 쉬움) |
| 임계응력 | σcr = π²E / λ² |
좌굴할 때의 평균 압축응력 |
좌굴 뜻 – 좌굴 한자와 영어
좌굴(挫屈)은 꺾일 좌(挫) + 굽을 굴(屈), 말 그대로 "꺾여서 굽는다"는 뜻이다. 영어로는 Buckling(버클링)이다. 자를 양끝에서 손으로 밀어 보면 어느 순간 자가 휙 휘는데, 이것이 바로 좌굴이다. 자의 재료가 부서진 것이 아니라, 곧은 상태를 유지할 수 없게 된 것이다.
- 좌굴은 "강도" 문제가 아니라 "안정(Stability)" 문제다. 재료가 아무리 강해도 가늘고 길면 낮은 힘에서 좌굴한다.
- 기둥이 휘기 시작하는 경계의 하중을 임계하중(Critical Load) 또는 좌굴하중 Pcr이라 한다.
좌굴 현상 – 단주와 장주의 차이
짧고 굵은 기둥(단주)은 압축력이 커지면 재료가 압축강도에 도달해 눌려 부서진다. 반면 가늘고 긴 기둥(장주)은 재료 강도에 한참 못 미치는 힘에서도 갑자기 옆으로 휜다. 하중 P가 Pcr보다 작을 때는 살짝 밀어도 다시 곧게 돌아오지만(안정), Pcr에 도달하면 작은 흔들림에도 휨이 계속 커진다(불안정).
| 구분 | 단주 (짧은 기둥) | 장주 (긴 기둥) |
| 파괴 형태 | 압축 파괴 (재료 항복 · 압괴) | 좌굴 (옆으로 휨) |
| 결정 요인 | 재료 강도 Fy, 단면적 A | 탄성계수 E, 단면2차모멘트 I, 길이 · 지지조건 |
| 세장비 | 작다 | 크다 |
| 계산 | P = Fy × A | Pcr = π²EI / (KL)² |
좌굴하중 공식 – 오일러 좌굴하중
1744년 오일러(Euler)가 구한 오일러 좌굴하중 공식은 탄성 범위에서 기둥이 휘기 시작하는 압축력을 준다.
| 기호 | 뜻 | 단위 (예) | 좌굴하중을 키우려면 |
| E | 탄성계수 (재료의 강성) | MPa · 강재 210,000 | 강성 큰 재료 |
| I | 단면2차모멘트 (휘는 방향의 작은 값) | mm⁴, cm⁴ | 단면을 크게, 재료를 바깥으로 |
| L | 기둥 길이 | mm, m | 길이를 짧게 (중간 지지) |
| K | 유효좌굴길이계수 (지지조건) | – | 양끝을 더 단단히 고정 |
- 길이 L이 제곱으로 들어간다. 길이가 2배면 좌굴하중은 1/4로 줄어든다.
- 재료 강도 Fy는 공식에 없다. 고강도 강을 써도 장주의 좌굴하중은 그대로다 (E는 강종과 관계없이 거의 같음).
- 단위는 N · mm로 맞추면 Pcr이 N으로 나온다. 1 kN = 1,000 N, I는 cm⁴ × 10⁴ = mm⁴로 바꾼다.
유효좌굴길이계수 K – 지지조건별 좌굴길이
같은 길이라도 끝이 어떻게 붙잡혀 있는지에 따라 휘는 모양이 다르다. 유효좌굴길이 KL은 그 모양을 양단 힌지 기둥의 반 사인파 길이로 바꾼 값이고, K가 유효좌굴길이계수다. 끝을 단단히 잡을수록 K가 작아지고 좌굴하중은 커진다.
| 지지조건 | 이론값 K | 설계 권장값 K | 좌굴하중 (양단 힌지 대비) |
| 양단 고정 | 0.5 | 0.65 | 4배 |
| 1단 고정 · 1단 힌지 | 0.7 | 0.80 | 약 2배 |
| 양단 힌지 | 1.0 | 1.0 | 1배 (기준) |
| 1단 고정 · 1단 자유 | 2.0 | 2.1 | 1/4배 |
- 설계 권장값은 실제 접합부가 완전한 고정이 되기 어려운 점을 반영해 이론값보다 조금 크게 잡은 값이다 (AISC 해설의 권장값). 골조 기둥은 보 · 기둥 강성비로 K를 구하는 정렬도표를 쓴다.
- 좌굴하중 비율은 1/K²에서 나온다. 예) K = 0.5 → 1 / 0.25 = 4배
좌굴 축 – 강축과 약축
기둥은 단면2차모멘트가 작은 쪽(약축)으로 먼저 휜다. 그래서 좌굴하중을 계산할 때는 I의 최솟값 Imin을 쓴다. H형강은 약축 Iy가 강축 Ix의 1/3 정도라서, 약축 방향에 가새나 중간 지지를 두어 약축 좌굴길이를 줄이는 경우가 많다. 원형 강관 · 정사각형 각관은 두 축의 I가 같아 방향에 관계없이 같은 좌굴하중을 갖는다.
- 단면2차모멘트와 회전반경은 단면2차모멘트 · 단면계수 공식 글에, H형강 · 강관의 실제 값은 H빔 규격 · 각관 · 강관 규격 글에 정리했다.
세장비와 임계응력 – 장주 단주 구분
좌굴하중을 단면적 A로 나누면 임계응력 σcr이 된다. I = A · r²(r은 회전반경)을 넣으면 식이 세장비 λ = KL / r 하나로 정리된다.
σcr이 재료의 항복강도 Fy보다 작으면 탄성 상태에서 좌굴하는 장주, 크면 좌굴 전에 재료가 항복하는 단주 쪽이다. 두 값이 같아지는 세장비가 장주 · 단주 경계다.
| 강종 (항복강도) | 경계 세장비 π√(E/Fy) | KDS 설계식 경계 4.71√(E/Fy) |
| SS235 (235 MPa) | 93.9 | 140.8 |
| SS275 (275 MPa) | 86.8 | 130.2 |
| SM355 (355 MPa) | 76.4 | 114.6 |
| SM460 (460 MPa) | 67.1 | 100.6 |
- E = 210,000 MPa 기준. 강도가 높을수록 경계 세장비가 작아져, 같은 기둥이라도 장주(좌굴 지배)가 되기 쉽다.
- 압축재의 세장비는 보통 200 이하로 제한하는 것이 권장된다.
오일러 곡선과 실제 설계 곡선
아래 그래프의 파란 선이 오일러 곡선이다. 세장비가 작아지면 σcr이 끝없이 커지지만, 실제로는 항복강도(빨간 점선)를 넘을 수 없다. 또 실제 기둥은 초기 휨 · 잔류응력 때문에 경계 부근에서 오일러 값보다 일찍 좌굴한다(비탄성좌굴). 그래서 설계에서는 초록 점선 같은 기둥곡선(KDS 14 31 10)을 쓴다.
| 구간 | KDS 14 31 10 (하중저항계수설계법) 휨좌굴 응력 Fcr |
| KL/r ≤ 4.71√(E/Fy) (비탄성좌굴) | Fcr = [0.658^(Fy/Fe)] · Fy |
| KL/r > 4.71√(E/Fy) (탄성좌굴) | Fcr = 0.877 · Fe |
| Fe (탄성좌굴응력) | Fe = π²E / (KL/r)² (= 오일러 임계응력) |
- 기준 원문과 요약은 KDS 14 31 10 강구조 부재 설계기준 글을 참고한다.
오일러 좌굴 공식 유도 (요약)
양단 힌지 기둥이 축력 P를 받아 y만큼 휘었다고 하자. 위치 x에서 휨모멘트는 M = −P · y이고, 보의 처짐 미분방정식 EI · y″ = M에 넣으면 다음 식이 된다.
- x = 0에서 y = 0 → B = 0
- x = L에서 y = 0 → A · sin(kL) = 0. 휘어 있으므로 A ≠ 0 → sin(kL) = 0 → kL = nπ
- P = n²π²EI / L². 실제로는 가장 작은 n = 1에서 먼저 좌굴하므로 Pcr = π²EI / L²
- 다른 지지조건도 경계조건만 바꿔 풀면 K = 2.0 · 0.7 · 0.5가 나온다.
좌굴하중 계산 예제
| 예제 | 조건 | 계산 | 결과 |
| ① H형강 기둥 | H-300×300×10×15, L = 4 m, 양단 힌지, 약축 Iy = 6,750 cm⁴ | π² × 210,000 × 6.75×10⁷ / 4,000² |
Pcr ≈ 8,740 kN |
| ② 비계용 강관 | Φ48.6×2.3, I = 8.99 cm⁴, L = 1.8 m, 양단 힌지 | π² × 210,000 × 8.99×10⁴ / 1,800² |
Pcr ≈ 57.5 kN |
| ③ 기계 부품 (환봉) | 지름 20 mm 강봉, L = 1 m, 1단 고정 · 1단 자유 (KL = 2 m) | I = π·20⁴/64 = 7,854 mm⁴ → π² × 210,000 × 7,854 / 2,000² |
Pcr ≈ 4.07 kN |
- 예제 ①: λ = 4,000 / 75.1 = 53.3 → σcr = 730 MPa > Fy 275 MPa. 오일러 값이 항복강도를 넘으므로 실제 압축강도는 설계식으로 구한다 (Fcr ≈ 235 MPa, 공칭강도 약 2,810 kN).
- 예제 ②: λ = 1,800 / 16.4 = 110 → σcr = 172 MPa < Fy 235 MPa. 탄성좌굴 범위라 오일러 공식이 그대로 의미를 갖는다.
- 예제 ③: 가는 봉은 1 m만 되어도 4 kN(약 400 kgf)에서 좌굴한다. 기계 설계에서 피스톤 로드 · 나사축의 좌굴 검토가 필요한 이유다.
좌굴 방지 방법
| 방법 | 원리 | 예 |
| 단면2차모멘트 키우기 | I ↑ → Pcr ↑ | 같은 무게라면 속이 빈 강관 · 각관, H형강의 플랜지 폭 키우기 |
| 좌굴길이 줄이기 | L ↓ → Pcr ∝ 1/L² | 중간에 가새 · 횡지지 · 띠장 설치 |
| 끝 고정 강화 | K ↓ | 핀 접합 → 강접합, 기초 고정도 확보 |
| 약축 보강 | Imin 방향 보강 | H형강 약축 방향에 가새 · 횡지지 |
| 세장비 제한 | λ = KL/r ↓ | 압축재 세장비 200 이하 권장 |
좌굴하중 계산기
E · I · L을 넣고 지지조건(경계조건)을 고르면 오일러 좌굴하중 Pcr이 계산된다. 단면적 A와 항복강도 Fy를 함께 넣으면 회전반경 · 세장비 · 임계응력과 장주 · 단주 판정까지 볼 수 있다.
| 항목 | 결과 |
| 유효좌굴길이 KL | - |
| 좌굴하중 Pcr | - |
| 회전반경 r = √(I/A) | - |
| 세장비 KL/r | - |
| 임계응력 σcr = Pcr / A | - |
| 판정 (σcr와 항복강도 비교) | - |
자주 묻는 질문
| 질문 | 답 |
| 좌굴은 영어로? | Buckling(버클링)이다. 좌굴하중은 Buckling Load 또는 Critical Load다. |
| 좌굴과 압축 파괴의 차이는? | 압축 파괴는 재료가 강도에 도달해 부서지는 것, 좌굴은 재료 강도보다 낮은 힘에서 기둥이 곧은 상태를 유지하지 못하고 휘는 안정 문제다. |
| 왜 약축으로 좌굴하나? | Pcr이 I에 비례하므로 I가 작은 방향이 먼저 Pcr에 도달하기 때문이다. |
| 좌굴하중 단위는? | 힘의 단위(N, kN, tonf)다. E는 MPa, I는 mm⁴, L은 mm로 넣으면 N이 나온다. |
| 오일러 공식은 언제 쓰나? | 탄성좌굴(장주) 범위에서만 맞다. 세장비가 작은 기둥은 KDS 설계식처럼 비탄성좌굴을 고려한 식을 쓴다. |
| 세장비 k는 무엇인가? | 세장비 식 KL/r의 K는 유효좌굴길이계수다. 지지조건에 따라 0.5 ~ 2.0을 쓴다. |
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