단면2차모멘트 · 단면계수 공식 – 뜻 · 단위, 평행축정리, 직사각형 · 원형 · H형강 (재료역학)

단면2차모멘트 · 단면계수 공식

 

단면2차모멘트와 단면계수는 재료역학에서 가장 먼저 배우는 단면 성질로, 보가 얼마나 덜 휘고(처짐), 얼마나 큰 휨모멘트를 견디는지(휨응력)를 정하는 단면의 성질이다. 이 글에서는 단면2차모멘트 뜻과 단위, 단면계수 공식, 직사각형 · 원형 · 각관 · 강관 · H형강 · T형 · 삼각형의 공식, 그리고 조합 단면을 계산할 때 꼭 쓰는 평행축정리를 예제와 함께 정리했다.

맨 아래 단면2차모멘트 계산기에서 모양을 고르고 치수를 넣으면 단면적 · 도심 · 단면2차모멘트 · 단면계수 · 회전반경을 mm와 cm 단위로 바로 볼 수 있다.

 

이름	기호	공식	단위	어디에 쓰나
단면2차모멘트	I	∫ y² dA	mm⁴, cm⁴	휨 강성 → 처짐 (δ ∝ 1/EI)
단면계수 (탄성)	Z (KDS 강구조는 S)	I / y_max	mm³, cm³	휨응력 σ = M / Z
회전반경	i (또는 r)	√(I / A)	mm, cm	기둥 좌굴 · 세장비 KL / i
소성단면계수	Zp (KDS 강구조는 Z)	단면 절반의 넓이 × 도심 거리 합	mm³, cm³	소성 휨강도 Mp = Fy · Zp
단면1차모멘트	Q (또는 G)	∫ y dA	mm³	도심 위치 · 전단응력

 

 

단면2차모멘트 뜻 (의미)

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단면2차모멘트의 뜻과 휨응력 분포

 

단면2차모멘트는 단면을 아주 작은 넓이 dA로 잘게 나눈 뒤, 각 넓이에 중립축까지 거리의 제곱(y²)을 곱해 모두 더한 값이다. 거리를 제곱해서 더하기 때문에, 같은 넓이라도 중립축에서 멀리 있는 재료일수록 I를 크게 키운다. H형강이 재료 대부분을 위아래 플랜지에 몰아 둔 이유가 바로 이것이다.

 

I = ∫ y² dA

 

보에 휨모멘트 M이 걸리면 응력은 중립축에서 0이고, 끝으로 갈수록 직선으로 커진다(σ = M·y / I). I가 클수록 같은 M에서 응력과 곡률이 작아지므로 덜 휘고 덜 깨진다.

 

단면2차모멘트와 관성모멘트 차이

구분	단면2차모멘트 (면적관성모멘트)	관성모멘트 (질량관성모멘트)
정의	∫ y² dA (넓이 × 거리²)	∫ r² dm (질량 × 거리²)
단위	mm⁴, cm⁴, m⁴	kg·m²
쓰는 곳	보의 휨 · 처짐 · 좌굴 (재료역학 · 구조역학)	회전 운동 · 진동 (동역학)

 

• 구조 분야에서 "단면 관성모멘트"라고 하면 보통 단면2차모멘트를 말한다. 영어로는 둘 다 moment of inertia라서 생긴 혼용이다.

 

 

단면2차모멘트 단위 – mm⁴ · cm⁴ · m⁴ 변환

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단면2차모멘트는 길이의 4제곱 단위다. 형강 규격표는 보통 cm⁴, 손계산 · 구조계산 프로그램은 mm⁴나 m⁴를 쓰므로 단위 변환에서 실수가 가장 많이 난다.

 

단위	mm⁴로	cm⁴로	m⁴로
1 mm⁴	1	10⁻⁴	10⁻¹²
1 cm⁴	10⁴ (1만)	1	10⁻⁸
1 m⁴	10¹²	10⁸ (1억)	1

 

• 단면계수는 3제곱 단위: 1 cm³ = 1,000 mm³, 1 m³ = 10⁹ mm³
• 예) H-300×300×10×15의 Ix = 20,400 cm⁴ = 204,000,000 mm⁴ = 2.04 × 10⁻⁴ m⁴

 

 

단면계수 공식과 뜻

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단면계수는 단면2차모멘트를 중립축에서 가장 먼 끝까지의 거리 y_max로 나눈 값이다. 휨응력은 끝에서 가장 크므로, 단면계수만 알면 최대 휨응력을 한 번에 구할 수 있다.

 

Z = I / y_max   →   σmax = M / Z

 

T형 · 삼각형처럼 위아래가 대칭이 아닌 단면은 위 끝과 아래 끝까지 거리가 달라서 단면계수가 두 개(Z위, Z아래)다. 응력 검토는 작은 쪽(먼 끝)으로 한다.

 

기호 주의 – 단면계수 Z와 S

구분	교재 · 재료역학	KDS · 강구조 설계	형강 규격표 (/150 글)
탄성 단면계수 (I / y)	Z	S	Sx, Sy
소성 단면계수	Zp	Z	Zx, Zy (이 블로그 표에서는 제외)

 

• 검색에서 많이 보는 "단면계수 Z"는 대부분 탄성 단면계수(I / y)다. 강구조 기준서의 Z는 소성 단면계수이므로 섞어 쓰지 않도록 주의한다.

 

 

단면2차모멘트 공식 – 직사각형 · 원형 · H형강 · 삼각형

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단면 모양별 치수 기호

 

모두 도심을 지나는 수평축(x축)에 대한 값이다. 회전반경 i = √(I / A)는 직사각형 h / √12 ≈ 0.289h, 원형 D / 4다.

 

단면	단면적 A	단면2차모멘트 Ix	단면계수 Zx
① 직사각형 b × h	bh	bh³ / 12	bh² / 6
② 중공 직사각형	BH − bh	(BH³ − bh³) / 12	(BH³ − bh³) / (6H)
③ 원형 D	πD² / 4	πD⁴ / 64	πD³ / 32
④ 중공 원형 D, d	π(D² − d²) / 4	π(D⁴ − d⁴) / 64	π(D⁴ − d⁴) / (32D)
⑤ H형 · I형	2B·tf + (H − 2tf)·tw	[BH³ − (B − tw)(H − 2tf)³] / 12	Ix / (H / 2)
⑥ 삼각형 b × h	bh / 2	bh³ / 36	위 bh² / 24, 아래 bh² / 12

 

• 약축 Iy: 직사각형 hb³ / 12, H형 [2tf·B³ + (H − 2tf)·tw³] / 12
• 삼각형을 도심축이 아니라 밑변에 대해 구하면 bh³ / 12, 직사각형을 밑변에 대해 구하면 bh³ / 3 (아래 평행축정리로 확인)
• 원형의 극단면2차모멘트(비틀림) J = πD⁴ / 32 = 2I

 

직사각형 단면2차모멘트 공식 유도

폭 b인 직사각형을 중립축에서 y만큼 떨어진 두께 dy의 띠로 나누면 dA = b·dy다. 아래 끝(−h/2)부터 위 끝(+h/2)까지 더하면 된다.

 

I = ∫ y² · b dy (−h/2 ~ h/2) = b · [y³/3] = b · (h³/24 + h³/24) = bh³ / 12

 

원형 단면2차모멘트 공식 유도

원은 극좌표가 편하다. 중심에서 r만큼 떨어진 두께 dr의 고리 넓이는 dA = 2πr·dr이고, 극단면2차모멘트 J = ∫ r² dA = πR⁴ / 2 = πD⁴ / 32다. 원은 x축과 y축 값이 같고 J = Ix + Iy이므로 Ix = J / 2 = πD⁴ / 64가 된다.

 

 

강축과 약축 – 높이는 세제곱으로 효과가 크다

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같은 단면의 강축 · 약축 단면2차모멘트 비교

 

직사각형 I = bh³ / 12에서 폭 b는 1제곱, 높이 h는 3제곱이다. 그래서 같은 각재라도 세워서 쓰면(강축) 눕혀 쓸 때(약축)보다 훨씬 덜 휜다. 아래 그래프는 기준 단면에서 높이와 폭을 k배로 바꿨을 때 I와 Z가 몇 배가 되는지 보여준다. 높이를 2배로 하면 I는 8배, Z는 4배가 되지만, 폭을 2배로 하면 둘 다 2배뿐이다.

 

 

 

 

평행축정리 – 공식과 T형 단면 예제

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평행축정리와 T형 단면

 

평행축정리는 도심축에 대한 단면2차모멘트 Ic를 알 때, 그 축과 나란하고 d만큼 떨어진 다른 축에 대한 값을 구하는 공식이다. T형 · ㄷ형 · 합성단면처럼 여러 조각으로 된 단면은 조각마다 Ic + A·d²를 구해서 더한다.

 

I = Ic + A · d²

 

• d는 반드시 조각의 도심에서 새 축까지의 거리다. 도심축에서 멀어질수록 I는 항상 커진다 (도심축에 대한 I가 최소).
• 확인: 직사각형을 밑변에 대해 → bh³/12 + bh·(h/2)² = bh³ / 3, 삼각형을 밑변에 대해 → bh³/36 + (bh/2)·(h/3)² = bh³ / 12

 

T형 단면 평행축정리 예제

플랜지 300 × 20 mm, 웨브 10 × 280 mm, 전체 높이 300 mm인 T형 단면의 Ix를 구해 보자. 먼저 밑면 기준으로 도심 위치 ȳ를 구한다.

 

조각	넓이 A (mm²)	조각 도심 y (밑에서, mm)	A · y (mm³)
플랜지 300 × 20	6,000	290	1,740,000
웨브 10 × 280	2,800	140	392,000
합계	8,800	–	2,132,000

ȳ = 2,132,000 / 8,800 = 242.3 mm (밑에서)

 

조각	Ic = b·h³ / 12 (mm⁴)	d (mm)	A · d² (mm⁴)	Ic + A·d² (mm⁴)
플랜지	300 × 20³ / 12 = 200,000	290 − 242.3 = 47.7	13,667,355	13,867,355
웨브	10 × 280³ / 12 = 18,293,333	242.3 − 140 = 102.3	29,287,190	47,580,523
합계 Ix				61,447,879 mm⁴ ≈ 6,145 cm⁴

 

• 위 끝까지 거리 300 − 242.3 = 57.7 mm → Z위 = 61,447,879 / 57.7 ≈ 1,064,000 mm³
• 아래 끝까지 거리 242.3 mm → Z아래 = 61,447,879 / 242.3 ≈ 253,600 mm³ (응력 검토는 작은 쪽)
• 계산기에서 "T형"을 고르면 같은 값이 나온다.

 

 

H형강 단면2차모멘트 · 단면계수 계산

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H형강은 바깥 직사각형(B × H)에서 웨브 양옆의 빈 공간 두 개((B − tw) × (H − 2tf))를 빼는 방식으로 계산한다. H-300×300×10×15를 예로 들면 다음과 같다.

 

Ix = [300 × 300³ − 290 × 270³] / 12 = 199,327,500 mm⁴ ≈ 19,930 cm⁴

 

항목	손계산 (모서리 r 무시)	규격표 값	차이 이유
Ix (cm⁴)	19,930	20,400	웨브-플랜지 모서리 둥글기(r = 18 mm) 넓이
탄성 단면계수 Sx (cm³)	19,930 / 15 = 1,329	1,360	같음
소성 단면계수 (cm³)	B·tf·(H − tf) + tw·(H − 2tf)² / 4 = 1,465	1,500	같음

 

• 손계산은 2 ~ 3% 작게 나온다. 설계에는 H빔 규격 · H형강 규격표의 값을 쓰고, 손계산은 검산용으로 쓰면 좋다.
• 각관 · 강관의 단면2차모멘트는 각관 규격 · 강관 규격 글에 정리했다.

 

탄성 단면계수와 소성 단면계수 – 응력분포 차이

탄성 · 부분 소성 · 완전 소성 단계의 응력분포

 

휨모멘트를 점점 키우면 단면의 응력분포는 위 그림처럼 바뀐다. 탄성 단면계수 S는 ① 단면 끝단만 항복응력 Fy에 도달한 순간(항복모멘트 My = Fy · S)의 값이고, 이때 안쪽은 아직 탄성이라 응력이 삼각형 분포다. 모멘트를 더 키우면 ② 바깥부터 안쪽으로 항복이 번지고, 마지막에 ③ 압축부와 인장부가 모두 항복해 응력이 직사각형 블록이 된다. 이때의 값이 소성 단면계수 Zp(소성모멘트 Mp = Fy · Zp)다.

 

• 직사각형 탄성: 압축력 C = Fy · b · h/4, 팔길이 2h/3 → My = Fy · bh²/6
• 직사각형 소성: 압축력 C = Fy · b · h/2, 팔길이 h/2 → Mp = Fy · bh²/4
• 완전 소성에서는 중립축이 "넓이를 반으로 나누는 축"으로 바뀐다. 대칭 단면은 도심축과 같지만, T형처럼 비대칭이면 위치가 달라진다.

 

탄성 단면계수에 대한 소성 단면계수의 비율을 형상계수라고 한다. 형상계수가 클수록 첫 항복 이후에도 버틸 여유가 크다.

 

단면	소성 단면계수	형상계수 (Zp / S)
직사각형	bh² / 4	1.5
원형	D³ / 6	약 1.7
H형강 (강축)	B·tf·(H − tf) + tw·(H − 2tf)² / 4	약 1.1 ~ 1.15

 

 

단면계수로 휨응력 구하기 예제

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H-300×300×10×15 (Sx = 1,360 cm³ = 1,360,000 mm³)에 휨모멘트 M = 200 kN·m가 걸리면 최대 휨응력은 다음과 같다.

 

σmax = M / S = 200,000,000 N·mm / 1,360,000 mm³ ≈ 147 MPa

 

• 단위를 N · mm로 맞추면 응력이 바로 MPa(N/mm²)로 나온다. 1 kN·m = 1,000,000 N·mm
• 처짐은 단면2차모멘트로 구한다. 단순보 등분포하중이면 δ = 5wL⁴ / (384EI) – 보의 처짐 공식 참고

 

 

단면2차모멘트 계산기

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단면 모양을 고르고 치수(mm)를 넣으면 바로 계산된다. 각 모양을 고를 때 예제 치수가 기본값으로 들어간다 (T형은 위 평행축정리 예제, H형은 H-300×300×10×15).

 

단면2차모멘트 · 단면계수 계산기

단면 모양

직사각형 중공 직사각형 (각관) 원형 중공 원형 (강관) H형 · I형 T형 삼각형 (이등변)

폭 b

mm

높이 h

mm

-

mm

-

mm

항목	값 (mm 단위)	값 (cm 단위)
단면적 A	-	-
도심 위치 ȳ (밑면에서)	-	-
Ix (수평 x축)	-	-
Iy (수직 y축)	-	-
Zx 위 (= Ix / 위 끝 거리)	-	-
Zx 아래 (= Ix / 아래 끝 거리)	-	-
Zy	-	-
ix = √(Ix/A)	-	-
iy = √(Iy/A)	-	-

모서리 둥글기(r)는 무시한 값입니다. 실제 형강 · 각관은 규격표 값을 쓰세요. 1 cm⁴ = 10,000 mm⁴, 1 cm³ = 1,000 mm³

 

 

자주 묻는 질문

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질문	답
단면2차모멘트와 단면계수의 차이는?	단면2차모멘트(I, mm⁴)는 휨 강성 · 처짐에, 단면계수(Z = I / y, mm³)는 휨응력에 쓴다. 단면계수는 단면2차모멘트를 끝까지 거리로 나눈 값이다.
단면2차모멘트 단위는?	길이의 4제곱이다. mm⁴, cm⁴, m⁴를 쓰며 1 cm⁴ = 10,000 mm⁴다.
단면2차모멘트와 관성모멘트는 같은가?	구조 분야에서 "단면 관성모멘트"는 단면2차모멘트(넓이 기준)를 말한다. 동역학의 관성모멘트(질량 기준, kg·m²)와는 다르다.
단면1차모멘트는 무엇인가?	넓이 × 거리(∫ y dA)다. 도심 위치를 구하거나 보의 전단응력(τ = VQ / Ib)을 구할 때 쓴다.
평행축정리는 언제 쓰나?	T형 · ㄷ형 · 합성단면처럼 조각을 합친 단면의 I를 구하거나, 도심축이 아닌 축(밑변 등)에 대한 I를 구할 때 쓴다.
왜 높이를 키우는 게 효과적인가?	직사각형 I = bh³ / 12에서 높이 h가 세제곱이라서다. 높이 2배면 I는 8배, 폭 2배면 2배다.

 

 

이 단면으로 바로 보 계산하기

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macroBIM은 설치 없이 브라우저에서 쓰는 구조계산 도구로, 왼쪽 메뉴 MacroBEAM → SimpleBEAM에서 단면을 고르거나 단면2차모멘트를 직접 넣고 반력 · 휨모멘트 · 처짐을 계산할 수 있다.

     → macroBIM 바로가기 (www.macrobim.com)

 

 

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