모드 참여 계수 / 질량 참여율

내진해석에서 자주 나오는 "모드 참여 계수"와 "질량 참여율"에 대한 개념을 정리하여 보았다.

 

운동 방정식

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먼저, 지진력을 받는 구조계의 운동 방정식은 아래와 같다.

 

 

위 식에서, Xg의 2차 미분항은 지진에 의한 지반가속도이다.

 

변위 X를 아래와 같이 변환하여, 운동방정식에 대입하면,

아래와 같이 나타낼 수 있다.

 

여기서,  Φ_i, η_i 는 각각 i 번째 모드 벡터와 모드를 나타낸다. 위 식에서 모드 기여 계수 (Modal Participation Factor)는 아래 와 같이 정의된다.

 

 

모드 기여 계수 및 질량 참여율

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위 식이 의미하는 바를 고민한 끝에, 모드 기여 계수와 질량 참여율의 의미는 다음과 같지 않을까 하고 결론내렸다.

 

예를 들어, 지진력 Xg 가 가해지는 캔틸레버 기둥이 있다고 가정하고,

이 캔틸레버 기둥의 모드 해석을 하면, 아래와 같이 여러개의 모드 벡터를 얻을 수 있다.

아래 그림과 같이, 지진력이 가해 질 때 구조물의 거동은 아래 여러가지 모드 들에 각각 가중치를 곱한 값의 합으로 근사화 할 수 있다. 따라서, 각각의 모드에 적절한 가중치를 곱해줘야 하는데, 이것이 뜻하는 바가 모드 기여 계수 (Modal Participation Factor)가 된다.

 

다른 각도로 생각해보면, 모드 기여 계수가 가장 큰 벡터는 그 지진력이 작용할 때 구조물의 거동을 대표하는 주요 거동형상을 의미한다.

 

 

 

 

 

또한, 각각의 모드 기여 계수들을 합한 값은 질량참여율(Mass Particiption Ratio)이라고 하며, 질량참여유을 전체 질량에 대한 모드별 유효질량의 합과 같다. 일반적으로 질량참여율이 90% 이상이 되어야 대부분의 모드가 고려된 유효한 해석 결과로 판단되어 진다.

 

다른 교량에서의 모드 해석 결과 예

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